매닝 공식

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1. 개요
2. 동수반경 (경심)
- 2.1. 정의
- 2.2. 중요성
3. 조도계수
- 3.1. 매닝 공식
- 3.2. 매닝 공식 (한국어)
4. 한국에서의 활용
5. 관련 인물
참조

1. 개요

매닝 공식은 개수로 흐름에서 평균 유속을 추정하는 데 사용되는 경험식으로, 가우클러-매닝 공식이라고도 불린다. 이 공식은 동수 반경, 조도 계수, 하천 경사 등을 활용하여 유속을 계산하며, 하수도 설계, 농업 용수로 관리, 범람 해석 등 다양한 분야에서 활용된다. 매닝 공식은 자연 하천 및 인공 수로의 유량 및 유속을 예측하는 데 중요한 역할을 하며, 한국에서도 농업, 토목 분야에서 널리 사용되고 있다.

2. 동수반경 (경심)

동수반경(動水半徑) 또는 경심(徑深, hydraulic radius)은 흐르는 물의 단면적을 윤변(Wetted perimeter)으로 나눈 값이다.^[6] 이는 물이 흐르는 통로(채널)의 기하학적 특성을 나타내는 지표로, 채널의 유량, 유속, 퇴적물 운반 능력 등을 파악하는 데 사용된다.^[11]^[12] 관련 개념으로 수력 지름이 있다.

2. 1. 정의

수력 반경(Hydraulic radius)은 흐르는 물의 통로(채널) 단면적을 윤변(Wetted perimeter, 물에 젖은 경계 길이)으로 나눈 값이다. 흔히 경심(徑深) 또는 동수반경(動水半徑)이라고도 부른다. 이는 채널을 통해 흐르는 물의 양과 세기, 특히 물이 퇴적물 등을 운반하는 능력을 파악하는 데 중요한 지표가 된다.^[6]

수학적으로 수력 반경 ''R_h''는 다음과 같이 정의된다.

:

R_h = \frac{A}{P}

여기서:

''R_h''는 수력 반경 (L)
''A''는 흐름의 단면적 (L²)
''P''는 윤변 (L)

다른 조건이 같다면, 수력 반경이 큰 채널일수록 유속이 빠르고 더 많은 양의 물을 운반할 수 있다. 예를 들어, 폭이 동일한 사각형 모양의 채널에서는 수심이 깊을수록 수력 반경이 커진다. 매우 넓은 직사각형 채널의 경우, 수력 반경은 대략 물의 깊이와 비슷해진다.

수력 반경은 이름 때문에 혼동하기 쉽지만, 수력 지름의 절반이 아니다. 완전히 물이 가득 찬 원형 파이프의 경우, 수력 반경은 수력 지름의 1/4에 해당한다. 이 값은 물이 흐르는 통로의 모양에 따라 달라진다.

수력 반경은 채널이 물과 퇴적물을 얼마나 효율적으로 이동시킬 수 있는지를 나타내므로, 하천이나 수로의 설계 및 관리에 중요한 요소로 활용된다.

2. 2. 중요성

수력 반경(Hydraulic radius)은 물이 흐르는 통로, 즉 수로(채널)의 효율성을 나타내는 중요한 지표이다. 이는 경심(徑深) 또는 동수반경(動水半徑)이라고도 불린다. 수력 반경은 물의 흐름을 제어하고, 퇴적물과 같은 물질을 운반하는 채널의 능력을 결정하는 핵심 요소이다.

수력 반경은 물이 흐르는 단면적(A)을 물과 직접 접촉하는 경계선의 길이인 윤변(P)으로 나눈 값으로 정의된다. (수식: R_h = A / P)

다른 모든 조건이 동일하다면, 수력 반경이 더 큰 하천이나 수로는 더 높은 유속을 가지며, 더 큰 단면적을 통해 더 많은 양의 물(유량)을 운반할 수 있다.^[6] 즉, 수력 반경이 클수록 채널의 물 운반 효율성이 높아진다. 예를 들어, 폭이 동일한 직사각형 수로에서는 수심이 깊어질수록 수력 반경이 커지는 경향이 있으며, 특히 폭이 매우 넓은 직사각형 수로의 경우 수력 반경은 근사적으로 수심과 같아진다.

이러한 특성 때문에 수력 반경은 수자원 공학 분야에서 매우 중요하게 활용된다. 주요 활용 분야는 다음과 같다.

채널 효율성 및 용량 평가: 하천이나 수로가 물과 퇴적물을 얼마나 효과적으로 이동시킬 수 있는지 평가하는 데 사용된다.
수로 유지 보수: 농업용수로와 같은 인공 수로의 경우, 벽면 상태 변화에 따른 수로 성능 저하를 판단하고 보수 시기를 결정하는 기준으로 활용된다.^[11]
범람 해석: 홍수 발생 시 하천 바닥면의 유속을 계산하여 범람 위험을 예측하고 분석하는 데 중요한 변수로 사용된다.^[12]

참고로, 수력 반경은 그 이름에도 불구하고 수력 지름의 절반이 아니다. 물이 가득 차서 흐르는 원형 파이프의 경우, 수력 반경은 수력 지름의 1/4에 해당한다.

3. 조도계수

조도 계수(coefficient of roughness) ''n''은 흐르는 물의 관이나 개수로 벽 표면의 거친 정도가 흐름에 미치는 저항을 나타내는 경험적으로 도출된 계수이다.^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12] 이 값은 표면 거칠기, 사행도, 수로 단면의 형태 및 크기, 흐름의 깊이 등 다양한 요인에 따라 달라지며, 특히 자연 하천에서는 구간 및 수위에 따라 크게 변할 수 있다. 매닝 공식과 같은 수리학적 계산에 중요한 변수로 사용된다.

3. 1. 매닝 공식

개수로 흐름에서 평균 유속을 추정하는 데 사용되는 경험식이다. 조도 계수 n은 흐르는 물의 관이나 벽 표면의 거친 정도를 나타내는 계수이다.

가우클러-매닝 공식은 다음과 같이 나타낸다.

:

V = \frac{k}{n} {R_h}^{2/3} \, S^{1/2}

여기서 각 변수는 다음과 같다.

V는 단면 평균 속도이다(길이/시간의 차원, m/s 또는 ft/s 단위).
n는 '''가우클러-매닝 계수'''이다. n의 단위는 종종 생략되지만, n은 무차원이 아니며, T/L^1/3의 차원을 가지며, s/m^1/3의 단위를 갖는다.
R_h는 '''동수 반경'''이다 (L; m, ft).
S는 하천 경사 또는 동수 경사로, 선형 동수두 손실 손실(L/L의 차원, m/m 또는 ft/ft 단위)이다. 물의 깊이가 일정할 때 수로 바닥 경사와 같다.( $S = h_f/L$ ).
k는 SI와 영국 단위계 간의 변환 계수이다. n 항의 단위를 주의하고 수정하는 한 생략할 수 있다. n을 전통적인 SI 단위로 둔다면, k는 영국 단위계로 변환하기 위한 차원 분석일 뿐이다. SI 단위의 경우 k = 1이고, 영국 단위계의 경우 k = 1.49이다. (참고: (1 m)^1/3/s = (3.2808399 ft)^1/3/s = 1.4859 ft/s)

참고로, 스트릭클러 계수 K_s는 매닝 계수 n의 역수이다(K_s = 1/n). 이는 L^1/3/T의 차원을 가지며 m^1/3/s의 단위를 갖는다. 스트릭클러 계수는 거친 돌과 거친 표면의 경우 약 20 m^1/3/s에서 매끄러운 콘크리트와 주철의 경우 80 m^1/3/s까지 다양하다.

유량 공식 Q = A * V를 사용하여 V 대신 가우클러-매닝 방정식을 대입하면, 제한 속도나 실제 유속을 알지 못해도 체적 유량(유량) Q를 추정할 수 있다.

이 공식은 차원 분석을 사용하여 얻을 수 있다. 2000년대에는 이 공식이 난류의 현상학적 이론을 사용하여 이론적으로 유도되기도 했다.^[4]^[5]

'''가우클러-매닝 계수'''(n)는 표면 거칠기 및 사행도를 포함한 많은 요인에 따라 달라지는 경험적으로 도출된 계수이다. 현장 조사가 불가능할 경우, n을 결정하는 가장 좋은 방법은 이미 n 값이 결정된 유사한 하천 채널의 사진을 참고하는 것이다.

보(weir)나 오리피스의 마찰 계수는 자연 상태(흙, 돌 또는 식생)의 채널 구간을 따라 결정되는 n 값보다 덜 주관적이다. 단면적뿐만 아니라 n 값도 자연 채널을 따라 달라질 가능성이 높다. 따라서 매닝의 n 값을 가정하여 평균 속도를 추정하는 것은 직접 샘플링(예: 유량계 사용)하거나 보, 플룸 또는 오리피스에서 측정하는 것보다 더 큰 오차를 가질 수 있다.

자연 하천에서 n 값은 하천 구간에 따라 크게 다르며, 심지어 특정 채널 구간 내에서도 하천 수위에 따라 달라진다. 대부분의 연구에 따르면, n 값은 수위가 높아짐에 따라 (적어도 제방 높이까지는) 감소하는 경향이 있다. 제방을 넘어서는 흐름에 대한 n 값은 연중 시기와 흐름 속도에 따라 크게 달라진다. 여름철에는 잎과 계절별 식생으로 인해 일반적으로 훨씬 높은 n 값을 갖는다. 그러나 연구에 따르면, 잎이 있는 개별 관목의 n 값은 잎이 없는 관목보다 낮다.^[7] 이는 식물의 잎이 흐름에 따라 유연하게 움직여 유선형을 이루면서 흐름에 대한 저항을 낮추기 때문이다. 높은 유속의 흐름은 일부 식생(예: 풀, 사초류)을 평평하게 눕히지만, 낮은 유속에서는 그렇지 않다.^[8]

개수로에서 Darcy–Weisbach 방정식은 동수 반경을 등가 파이프 직경으로 사용하여 유효하며, 인공 개수로에서 에너지 손실을 추정하는 가장 좋은 방법이다. 그러나 여러 가지 이유(주로 역사적인 이유)로 경험적인 저항 계수(예: Chézy 계수, 가우클러-매닝-스트릭클러 계수)가 오랫동안 사용되어 왔고 현재도 사용되고 있다. Chézy 계수는 1768년에 도입되었고, 가우클러-매닝 계수는 1865년에 처음 개발되었는데, 이는 1920–1930년대의 고전적인 파이프 흐름 저항 실험보다 훨씬 앞선 시기이다. 역사적으로 Chézy 계수와 가우클러-매닝 계수는 모두 일정하며 거칠기의 함수일 것으로 예상되었다. 그러나 현재는 이러한 계수들이 특정 유속 범위에서만 일정하다는 것이 널리 알려져 있다. 대부분의 마찰 계수(Darcy–Weisbach 마찰 계수 제외)는 전적으로 경험적으로 추정되며, 정상 상태의 완전 난류 흐름 조건에만 적용된다.

매닝 방정식의 가장 중요한 응용 분야 중 하나는 하수도 설계이다. 하수도는 종종 원형 파이프로 건설된다. 부분적으로 채워진 원형 파이프에서 n 값이 흐름 깊이에 따라 달라진다는 것은 오랫동안 받아들여져 왔다.^[9] 매닝 방정식을 원형 파이프에 적용할 때 흐름 깊이 및 기타 미지 변수를 계산하는 데 사용할 수 있는 완전하고 명시적인 방정식 세트가 있다.^[10] 이 방정식들은 Camp가 제시한 곡선에 따라 흐름 깊이에 따른 n 값의 변화를 고려한다. 또한 농업 용수로의 벽면 상태 악화에 따른 수로 보수 시점 판단 기준으로 사용되기도 하며,^[11] 범람 해석 시 유로 바닥면의 유속을 계산하는 데 사용된다.^[12]

3. 2. 매닝 공식 (한국어)

가우클러-매닝 공식은 다음과 같이 나타낸다.

:

V = \frac{k}{n} {R_h}^{2/3} \, S^{1/2}

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

V: 단면 평균 속도 (차원 L/T; m/s 또는 ft/s)
n: '''가우클러-매닝 계수'''. n의 단위는 종종 생략되지만 무차원 상수가 아니며, 차원 T/L^1/3을 가지고 SI 단위계에서 s/m^1/3 단위를 갖는다.
R_h: '''동수 반경''' (차원 L; m 또는 ft)
S: 하천 경사 또는 동수 경사. 선형 동수두 손실(차원 L/L; m/m 또는 ft/ft)을 의미하며, 물의 깊이가 일정할 때 수로 바닥 경사와 같다. ( $S = h_f/L$ )
k: SI 단위계와 영국 단위계 간의 변환 계수이다. n 항의 단위를 주의 깊게 확인하고 수정한다면 생략할 수도 있다. 만약 n을 전통적인 SI 단위로 사용한다면, k는 영국 단위계로 변환하기 위한 차원 분석 역할을 한다. SI 단위에서는 k = 1이며, 영국 단위계에서는 k = 1.49이다. (참고: (1 m)^1/3/s = (3.2808399 ft)^1/3/s = 1.4859 ft/s)

참고로, 스트릭클러 계수 K_s는 매닝 계수 n의 역수(K_s = 1/n)이며, 차원 L^1/3/T를 가지고 m^1/3/s 단위를 갖는다. 이 값은 거친 돌과 표면의 경우 약 20 m^1/3/s 에서 매끄러운 콘크리트와 주철의 경우 80 m^1/3/s 까지 다양하다.

유량 공식

Q = A V

(여기서 ''A''는 단면적)에 위 매닝 공식을 대입하여 유량 Q에 대해 정리하면, 실제 유속을 직접 측정하지 않고도 체적 유량(유량)을 추정할 수 있다.

이 공식은 차원 분석을 통해 얻을 수 있으며, 2000년대에는 난류의 현상학적 이론을 사용하여 이론적으로 유도되기도 하였다.^[4]^[5]

4. 한국에서의 활용

농업 용수로의 벽면 상태가 나빠졌을 때 수로 보수 여부를 결정하는 기준으로 활용된다.^[11] 또한 하천 등의 범람 해석 시 유로 바닥면의 유속을 계산하는 데 사용되기도 한다.^[12] 이러한 계산 과정에서는 유로의 지목에 따라 달라지는 조도 계수 값을 적용한다.

5. 관련 인물

알베르트 브람스(1692–1758)
앙투안 드 셰지(1718–1798)
앙리 다르시(1803–1858)
율리우스 루트비히 바이스바흐(1806-1871)
필리프 가스파르 고클레르(1826–1905)
로버트 매닝(1816–1897)
빌헬름 루돌프 쿠터(1818–1888)
앙리 바쟁(1843–1917)
루드비히 프란틀(1875–1953)
파울 리하르트 하인리히 블라시우스(1883–1970)
알베르트 슈트릭클러(1887–1963)
시릴 프랭크 콜브룩(1910–1997)

참조

_[1] 간행물 Etudes théoriques et pratiques sur l'ecoulement et le mouvement des eaux https://www.biodiver[...] 1867
_[2] 간행물 On the flow of water in open channels and pipes https://babel.hathit[...]
_[3] 간행물
_[4] 간행물 Scaling and Similarity in Rough Channel Flows
_[5] 간행물 Turbulent Friction in Rough Pipes and the Energy Spectrum of the Phenomenological Theory http://www.oist.jp/s[...]
_[6] 서적 An Introduction to Hydrodynamics and Water Waves https://books.google[...] Springer
_[7] 간행물 Field Determination of Manning'snValue for Shrubs and Woody Vegetation
_[8] 간행물 WinXSPRO, A Channel Cross Section Analyzer, User's Manual, Version 3.0. Gen. Tech. Rep. RMRS-GTR-147 http://www.fs.fed.us[...] U.S. Department of Agriculture, Forest Service, Rocky Mountain Research Station
_[9] 간행물 Design of Sewers to Facilitate Flow
_[10] 간행물 Explicit solutions of the Manning equation for partially filled circular pipes
_[11] 문서 "[http://agriknowledge.affrc.go.jp/RN/3020061194 開水路における壁面の凹凸から水路の粗度係数を求める試み]" 2008-03
_[12] 간행물 ため池決壊に伴う洪水流出過程に関する研究 https://doi.org/10.2[...] 2017-07-20

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